绕池闲步看鱼游， 正值儿童弄钓舟。
一种爱鱼心各异， 我来施食尔垂钩。

这四句是唐朝白居易所作。 他说人爱鱼者两种，一种爱鱼之生，一种爱鱼之味。 也有兼爱之人， 也有爱鱼生不爱吃鱼之人。后者，为素食主义者。

<杜撰草堂笔记> 有记载: 话说清乾隆年间， 有一罗汉，久居深山，以香菇和果蔬为食. 某日罗汉正在烧制菠菜豆腐, 冲来一个吊睛白额大虫, 要吃罗汉. 罗汉还没达到韦陀菩萨舍身伺虎的境界, 只能拉开架势防身. 那虎正要跃起, 只见罗汉大喝一声, 一阵白光闪过, 猛虎嘴里顿时多了块豆腐. 老虎正要大啸显其威猛, 料不得被一块豆腐呛声, 大怒之下, 使出一招礼敬如来, 便向罗汉扑来. 罗汉也不畏惧, 只见绿光一闪, 老虎口中豆腐又被菠菜击中, 混着豆腐被一并吞下. 老虎正要发威, 此时却立即倒下. 列位看官, 话说这菠菜与豆腐都是寻常之物, 怎能如此神奇, 叫得大虫伏地? 做书人曾乘坐光阴机器, 因此泄露一点天机. 话说百年之后, 有国美利坚, 有钻研炼丹之能事者, 唤作化学家, 其探菠菜之微, 究豆腐之理, 无人能及. 话说这些番邦夷人, 发现菠菜豆腐者, 于人无害. 于虎, 则势如水火也. 以我华夏中医解释亦可: 虎骨强健, 乃钙铁充足之物. 怎奈豆腐菠菜, 都是钙铁为强. 强上加强, 却不是锦上添花, 而是走火入魔也. 故, 虎一吞下, 浑身僵知不可动也. 闲话少说, 言归正传, 话说这虎伏在地下, 只是叫唤, 罗汉顺势骑上猛虎, 教以佛经, 授以素食. 可唤得一只丈八猛虎, 从此古佛相对, 不沾荤腥. 后来罗汉与虎都成了正果. 乾隆皇帝感其故事, 封菠菜豆腐为伏虎罗汉, 传为一段佳话. 好事者闻此事, 借皇帝口, 作诗赞菠菜豆腐曰: 清香白玉板，西施胜凝脂,
红嘴绿鹦哥，碧剑制猛虎. 清香白玉板, 西施胜凝脂一句， 言豆腐美味悦目. 红嘴绿鹦哥，碧剑制猛虎, 言菠菜翠绿盈人. 此素食主义者武林高手第一次见于野史也, 为乾隆三十八年之事. 话说光阴荏苒, 朝代变迁. 百年之后, 有国美利坚, 某日, 某人突发奇想, 豪口曰: 肉食者鄙, 素食者贵. 兼油价上涨, 猪肉金贵. 乃决定素食一周. 时人丰子恺有护生有令名, 赞曰: 买蔬须买鲜，用水须用泉，
切笋宜切嫩，选蕈须选圆，
豆腐宜久煮，萝卜宜加甜，
生油重重用，炭火慢慢燃，
不须杀生命，味美胜琼筵。 以下为此人七天素食之单: 第一日. 麦片为首, 香菇青菜为正席, 香蕉苹果亦有. 是夕, 煎烤土豆. 见鸡翅, 过眼即忘. 次日, 麦片为首, 附以牛奶. 未几即饿. 午餐为糙米. 辅以胡萝卜鸡蛋. 晚餐扔为土豆. 见牛肉, 吞豆腐干代之. 三日, 鸡蛋为首, 重用油. 正席为芦笋，玉米. 水果有. 见冻肉, 忍而不取. 晚餐为面条, 青菜二棵其上. 四日, 饮花茶, 麦片为首. 正席为青椒鸡蛋. 晚归，面包辅以草莓酱. 见牛肉, 取之又放. 是夜, 牛肉入梦. 五日， 鸡蛋为首, 沙拉为正席, 夕归, 取番茄一只, 为蛋汤. 大碗米饭. 见牛肉如见故交, 握而不放. 六日，取鸡蛋, 炒饭, 为两顿. 晚归, 见肉如见宝石. 取之爱不释手, 小切肉丝少许, 与雪菜同做面条. 第七日, 忍无可忍, 于街上走动. 忽见一餐厅, 题曰: 日本sushi, 认定为”日本素食”. 入, 风卷残云. 食罢, 环视左右, 大惊, 原来此乃日本寿司, 非素食也. 素食之筹, 从此罢. 此为西元2008年8月之事也. 按曰: 素食之功, 可伏虎降龙. 其理人人皆之, 然行之者少, 何也?

叫做GFW’s Choice. 看来超过周曙光, 拿到GFW’s Choice 2008 已经不可能了. 现在只盼拿个最佳提名就好了. 2009, 我们一定要加油!!! :)

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(没空写长的, 先写个备忘好了, 以后展开来介绍.  所有的想法都不是我的)

CLRS 第16章专门讲了贪心算法 (Greedy Algorithm) 的理论基础是拟阵 (matroid) . 具体理论就不重复废话了. 实际上更加贴切的模型叫做 Greedoid. 相关的理论看一下CLRS就好懂了. 注意 CLRS 中间讲到的所谓的带权拟阵, 实际上表明目标函数是线性的 (函数值 F(A) 等于集合A中每个元素权值之和). Edmonds 1970 早在70年代一篇没有摘要的装逼论文中就证明了拟阵结构上对线性函数的贪心算法一定是最优的. (http://portal.acm.org/citation.cfm?id=885912 )

实 际上应用中却不是线性的了, 而是一个叫亚模的(submodular), 具体的细节看维基百科. (http://en.wikipedia.org/wiki/Supermodular ). 亚模这个性质用通俗的话说, 就是随着加入集合的元素越多,  F 函数值获得的受益越少(效用边际递减). 显然世界的很多问题的效用函数都是这个性质. 如信息量 (Information Gain) 等其他效用函数. 这个函数在机器学习, 经济学和博弈论中用途广泛. 比如传感器的安排, Google 最优化广告词的安放, 传感器网络的优化放置, 集合覆盖问题等等. 同时亚模函数和拟阵是有紧密联系的, 如拟阵的秩(rank)的定义, 就必须是一个次模函数.

最好玩的结果是, 除非P=NP, 否则对于拟阵上的亚模函数来说, 贪心算法是多项式时间里面能完成的界最好的最大化算法. 这个就彻底打消了同志们研究新算法的热情鸟：直接用呗，反正没更好的了. 至于呀模函数的最小化, 又是一个多项式的算法. 和线性规划一样, 椭圆方法能解. 其他多项式方法阶也不高.

卡梅. MIT, UIUC 最近都有应用亚模函数做 WSN 或者图分区的文章. 有兴趣的自己去下载吧. 八卦的是, Google 关于 AdWords 最优化拍卖的论文, 一点拟阵和亚模都没扯到, 得到了同样的理论结果, 并且花了很多功夫强证上面贪心算法在界估计上最优这个结论. 不得不说, 学数学还是有点好处滴, 至少不要重新花了老半天重证一个定理鸟. 卡梅的一个团队更加豪言壮语, 说以前的机器学习全是做的啥凸函数的优化 (如 SVM ), 下个十年, 亚模函数就要统治机器学习优化领域啦.

有兴趣的各位老大随喜以下的文章.

An Introduction to Submodular Functions and Optimization. 属于简介
www.ima.umn.edu/optimization/seminar/queyranne.pdf

卡没在ICML上做的tutorial. 讲了和机器学习的联系
http://www.select.cs.cmu.edu/tutorials/submodularity-slides.pdf

Adwords Auctions with Decreasing Valuation Bids.  Google 的论文
www-static.cc.gatech.edu/grads/g/gagang/wine07_full.pdf

Revisiting the Greedy Approach to Submodular Set Function Maximization. MIT Sloan 管理学院的论文
http://www.optimization-online.org/DB_FILE/2007/08/1740.pdf

Near-Optimal Sensor Placements in Gaussian Processes: Theory, Efficient Algorithms and Empirical Studies.卡梅用来做传感器放置的一篇.

http://www.select.cs.cmu.edu/publications/paperdir/jmlr2008-krause-singh-guestrin.pdf

各位随喜了.我还得继续和论文做斗争.